第04章：数学与几何基元 gp / Geom / GeomAPI

OCCT 把几何分成两层：解析几何（gp）描述简单的、参数化封闭的形状；抽象几何（Geom、Geom2d）抽象任意自由曲线/曲面，并可序列化、可参数化操作；GeomAPI、Geom2dAPI、GeomAdaptor 提供高层算法封装。理解这三层是后续拓扑建模与算法的基础。

1. 设计动机

为什么不能用同一组类表达所有几何？因为：

  • 解析几何（直线、圆、圆锥曲线、平面、圆柱、球、锥、环面）有显式参数表达，运算高效，序列化紧凑。
  • 自由曲线/曲面（B 样条、Bezier、修剪曲面、偏置曲面、组合曲面）需要更通用的表示，无法用少量参数描述。
  • B-Rep 与算法层希望统一接口（统一的 D0/D1/D2、Value、Parameter 调用），不希望关心底层是哪种类型。

OCCT 的解决方案：

  1. gp_* 提供解析对象，按值传递；
  2. Geom_*/Geom2d_* 提供 Standard_Transient 派生的抽象基类与具体子类，按 handle 传递；
  3. GeomAdaptor_* 把任意 Geom_* 适配为 Adaptor3d_Curve/Surface，供算法使用；
  4. GeomAPI_*、Geom2dAPI_* 是常见算法的“一行 API”。

2. gp 解析几何

主要类型（3D）：

  • gp_Pnt：点。
  • gp_Vec、gp_Dir：向量与归一化方向。
  • gp_Lin：无界直线（点 + 方向）。
  • gp_Circ：圆（坐标系 + 半径）。
  • gp_Elips、gp_Hypr、gp_Parab：椭圆、双曲线、抛物线。
  • gp_Pln：平面。
  • gp_Cylinder、gp_Cone、gp_Sphere、gp_Torus：二次曲面与环面。
  • gp_Trsf：刚体变换（旋转、平移、镜像、缩放、复合）。
  • gp_GTrsf：包含非刚体（剪切、非均匀缩放）。
  • gp_Quaternion：旋转四元数。

2D 对应有 gp_Pnt2d、gp_Lin2d、gp_Circ2d、gp_Pln2d 不存在（平面是 3D 概念），gp_Ax2d/gp_Ax22d 表示 2D 坐标系。

gp 没有“裁剪”的概念，例如 gp_Lin 永远是无穷直线，gp_Circ 永远是完整圆；要表达半径有限的弧段，需要用 Geom_TrimmedCurve 或在拓扑层用 BRepBuilderAPI_MakeEdge 指定参数范围。

3. Geom 抽象 3D 几何

抽象基类：Geom_Geometry（变换接口）→ Geom_Curve/Geom_Surface/Geom_Point/Geom_Vector。

常见曲线：

  • Geom_Line、Geom_Circle、Geom_Ellipse、Geom_Hyperbola、Geom_Parabola：解析曲线在抽象层的封装。
  • Geom_BezierCurve：Bezier 曲线，控制点 + 权重。
  • Geom_BSplineCurve：B 样条曲线，OCCT 中最重要的曲线类型，几乎所有自由曲线最终都会转换或近似为 B 样条。
  • Geom_TrimmedCurve：把任意曲线限制到一个参数范围。
  • Geom_OffsetCurve：等距曲线。

常见曲面：

  • Geom_Plane、Geom_CylindricalSurface、Geom_ConicalSurface、Geom_SphericalSurface、Geom_ToroidalSurface：解析曲面。
  • Geom_BezierSurface、Geom_BSplineSurface：自由曲面。
  • Geom_RectangularTrimmedSurface：矩形参数域裁剪。
  • Geom_OffsetSurface：偏置曲面。
  • Geom_SurfaceOfRevolution、Geom_SurfaceOfLinearExtrusion：回转面与拉伸面。

通用接口：D0(u, P)、D1(u, P, V1)、D2(u, P, V1, V2, ...)、Value(u)、FirstParameter()、LastParameter()、IsClosed()、Continuity()、Transform(gp_Trsf)、Reverse()、Translated()。

4. Geom2d 抽象 2D 几何

Geom2d_* 是 Geom_* 的 2D 平行体系，主要用于：

  • B-Rep 中边在面上的“参数曲线”（PCurve）；
  • 二维草图、出图；
  • 表面参数空间内的算法。

类型对应：Geom2d_Curve 派生的 Geom2d_Line、Geom2d_Circle、Geom2d_Ellipse、Geom2d_BSplineCurve、Geom2d_BezierCurve、Geom2d_TrimmedCurve、Geom2d_OffsetCurve。

5. GeomAdaptor 与 Adaptor3d

算法（求交、投影、网格化）需要统一接口而不关心曲线/曲面具体类型。OCCT 提供：

  • Adaptor3d_Curve、Adaptor3d_Surface、Adaptor2d_Curve2d：抽象适配接口。
  • GeomAdaptor_Curve、GeomAdaptor_Surface：把 Geom_Curve/Surface 适配过来。
  • Geom2dAdaptor_Curve：把 Geom2d_Curve 适配为 Adaptor2d_Curve2d。
  • BRepAdaptor_Curve、BRepAdaptor_Surface、BRepAdaptor_Curve2d：把拓扑边/面提升为 Adaptor。

应用示例：

GeomAdaptor_Curve adp(curve);
GCPnts_AbscissaPoint::Length(adp, eps); // 计算长度
GCPnts_UniformAbscissa pts(adp, n);      // 等弧长离散

6. GeomAPI 高层算法

常用 API：

  • GeomAPI_PointsToBSpline：通过点列拟合 B 样条曲线。
  • GeomAPI_PointsToBSplineSurface：拟合 B 样条曲面。
  • GeomAPI_Interpolate：插值多项式 / 样条。
  • GeomAPI_ProjectPointOnCurve、GeomAPI_ProjectPointOnSurf：投影。
  • GeomAPI_ExtremaCurveCurve、ExtremaSurfaceSurface、ExtremaCurveSurface：极值/距离计算。
  • GeomAPI_IntCS、GeomAPI_IntSS：曲线-曲面/曲面-曲面相交。
  • GeomAPI（命名空间函数）：各种构造与转换。
TColgp_Array1OfPnt pts(1, n);
// 填充 pts...
GeomAPI_PointsToBSpline fit(pts, 3, 8, GeomAbs_C2, 1e-3);
Handle(Geom_BSplineCurve) bs = fit.Curve();

7. Geom2dAPI 与 2D 工具

类似 3D，常用的有：

  • Geom2dAPI_PointsToBSpline、Geom2dAPI_Interpolate、Geom2dAPI_ExtremaCurveCurve、Geom2dAPI_InterCurveCurve、Geom2dAPI_ProjectPointOnCurve。

加上 Geom2dGcc、GccAna 等工具包提供圆与直线的几何构造（切线、相切圆等）。

8. 参数化、连续性与方向

OCCT 几何对象都有“参数化”：

  • Curve：一维参数 u；
  • Surface：二维参数 (u, v)；
  • 参数范围由 FirstParameter/LastParameter/UFirst...VLast... 给出；
  • IsClosed/IsPeriodic 与 IsUClosed/IsVPeriodic 决定是否首尾相接、是否循环参数。

连续性 GeomAbs_Shape：C0、G1、C1、G2、C2、C3、CN。G 表示几何连续（切矢方向），C 表示参数连续。

方向：曲线/曲面有内禀方向（参数增大方向）；与拓扑方向（TopAbs_FORWARD/REVERSED）结合形成 B-Rep 的“朝向”。

9. 创建几何对象的常见做法

gp_Pnt p1(0,0,0), p2(10,0,0);
Handle(Geom_Line) line = new Geom_Line(p1, gp_Dir(p2.XYZ() - p1.XYZ()));
Handle(Geom_TrimmedCurve) seg = new Geom_TrimmedCurve(line, 0, p1.Distance(p2));

gp_Ax2 ax(gp_Pnt(0,0,0), gp_Dir(0,0,1));
Handle(Geom_Circle) circ = new Geom_Circle(ax, 5.0);

gp_Pln pln(gp_Ax3(gp_Pnt(0,0,0), gp_Dir(0,0,1)));
Handle(Geom_Plane) plane = new Geom_Plane(pln);

TColgp_Array2OfPnt poles(1, 4, 1, 4);
TColStd_Array1OfReal uknots(1, 4), vknots(1, 4);
TColStd_Array1OfInteger umult(1, 4), vmult(1, 4);
// 填充控制点与节点...
Handle(Geom_BSplineSurface) surf =
   new Geom_BSplineSurface(poles, uknots, vknots, umult, vmult, 3, 3);

10. 与拓扑的桥梁

要把 Geom_Curve/Geom_Surface 转换为拓扑实体：

  • BRepBuilderAPI_MakeEdge(curve, u1, u2) 创建带参数范围的边；
  • BRepBuilderAPI_MakeFace(surface, umin, umax, vmin, vmax, tol) 创建面；
  • BRepBuilderAPI_MakeWire/MakeShell/MakeSolid 进一步组合。

反向：BRep_Tool::Curve(edge) 取出底层 Geom_Curve；BRep_Tool::Surface(face) 取出底层 Geom_Surface。

11. 调试技巧

  • Draw 中可以 mkcurve c1 myedge、mksurface s1 myface 把拓扑底层几何提取为可显示对象。
  • 使用 GeomAPI_ProjectPointOnCurve 验证算法对参数定位是否正确。
  • 使用 GeomAbs_Shape Curve::Continuity() 检查曲面/曲线连续性。
  • 调试自由曲面可以输出 Poles()、Knots()、Multiplicities() 与 Degree() 检查。

掌握 gp、Geom、Geom2d、GeomAPI 与 Adaptor 之后，便可以从纯几何过渡到 B-Rep 拓扑结构。下一章我们将进入 TopoDS 与 BRep。

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